Permutazione alternata

In combinatoria, una permutazione alternante o permutazione alternata o permutazione a zig-zag di lunghezza n è una permutazione dell'insieme {1, 2, 3, ..., n} tale che nessun componente ci con 1<i<n ha valore compreso fra ci − 1 e ci + 1 . Si osserva che per n=2,3,... la riflessa di una permutazione alternante è anch'essa una permutazione alternante: ad esempio sono permutazioni alternanti di {1,2,3,4,5}sia 34152 che 25143. Dato che una permutazione e la sua riflessa non possono coincidere, si deduce che il numero delle permutazioni alternanti di una data lunghezza è un numero pari. Denotiamo con An la metà del numero delle permutazioni alternanti dell'insieme {1, ..., n}. Si osserva anche che, sempre per n=2,3,... , ad ogni permutazione alternante che inizia con una salita è associata biunivocamente la permutazione alternante che inizia con una discesa(ed ovviamente è diversa);quindi An fornisca anche il numero delle permutazioni alternanti che iniziano con una salita (o con una discesa). Si trova che la funzione generatrice esponenziale della successione di tali numeri è la funzione trigonometrica: Si osserva che la serie formale di potenze della secante presenta solo potenze pari della variabile x, mentre la serie della tangente presenta solo potenze dispari.Quindi i numeri con indici pari A2m sono forniti dalla serie della secante e vengono chiamati numeri secanti o numeri zig, mentre quelli con indice dispari sono forniti dalla serie della tangente e sono detti numeri tangenti o numeri zag. I numeri A2m sono strettamente connessi con i numeri di Eulero: