Asphärischer Raum

In der Mathematik ist der Begriff der Asphärizität in Geometrie und Topologie von Bedeutung. Ein topologischer Raum wird als asphärischer Raum bezeichnet, wenn er wegzusammenhängend ist und alle seine höheren Homotopiegruppen verschwinden, das heißt für . Asphärische geschlossene Mannigfaltigkeiten kommen in der Differentialgeometrie häufig vor und spielen auch in der Homotopietheorie eine große Rolle. Interessante geometrische Konstruktionen führen auf asphärische geschlossene Mannigfaltigkeiten, z. B. nicht-positiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten, geschlossene Flächen mit Ausnahme von und , irreduzible, geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten mit unendlicher Fundamentalgruppe, oder lokal symmetrische Räume nichtkompakten Typs. Andererseits gibt es auch exotische asphärische geschlossene Mannigfaltigkeiten, die nicht aus Standardkonstruktionen stammen und unerwartete Eigenschaften haben, z. B. deren universelle Überlagerung nicht homöomorph zum ist und die nicht triangulierbar sind. Die wichtigsten Konstruktionsmethoden sind hier der Spiegelungstrick und Hyperbolisierung. Der Homotopietyp eines asphärischen CW-Komplexes hängt nur von der Fundamentalgruppe ab. Die sagt voraus, dass asphärisch geschlossene topologische Mannigfaltigkeiten topologisch starr sind, also durch ihre Fundamentalgruppe bereits bis auf Homöomorphismus festgelegt.