основная функция

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций). Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева. Обычно в качестве пространства основных функций выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) , на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология): Последовательность сходится к , если: 1. * Функции равномерно финитны, то есть — компакт в и в том числе . 2. * равномерно по . Здесь — ограниченная область в . Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца — бесконечно гладких на функций, убывающих при быстрее любой степени вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций сходится к , если равномерно по . Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.