Совершенная группа

Совершенная группа ― группа , такая что отображение является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент в автоморфизм сопряжения . Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним. Примерами являются симметрические группы при (теорема Гёльдера); при этом группа имеет нетривиальный центр, а у группы существует . Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу. Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой , но которая не является совершенной, является группа диэдра .