espérance conditionnelle

En théorie des probabilités, l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle est, selon les cas, un nombre ou une nouvelle variable aléatoire. L'espérance d'une variable aléatoire conditionnée par un événement B est, intuitivement, la moyenne que l'on obtient si on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience liée à la variable aléatoire et que l'on ne retient que les cas où l'événement B est réalisé. L'espérance de X conditionnée par B se note . On rencontre ce type d'espérance conditionnelle, par exemple, dans le calcul de l'espérance de vie où l'espérance de vie à la naissance est différente de celle obtenue si on a déjà atteint l'âge de 60 ans. Si Y est une variable aléatoire discrète, on peut définir l'espérance de X conditionnée par Y. Elle se note . C'est une nouvelle variable aléatoire définie comme égale à où est la fonction presque partout définie par :. Cependant la démarche mise en œuvre dans le cas discret ne se généralise pas facilement dans le cas où la variable est conditionnée par une variable aléatoire quelconque ou une sous-tribu. Il existe alors une définition plus formelle de la variable aléatoire ou . L'espérance conditionnelle de X sachant Y est la fonction de Y donnant la meilleure approximation de X quand Y est connu. L’espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, notamment utilisé dans des domaines tels l'étude des martingales et du calcul stochastique.