przestrzeń sprzężona topologicznie

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni oznacza się często lub Parę nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn, transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana)/espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder, adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – . W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę, podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się. Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy . Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).