Spitzenform

In der Zahlentheorie wird eine holomorphe Modulform zur Modulgruppe (manchmal wird auch als Modulgruppe definiert) als Spitzenform (engl.: cusp form ) bezeichnet, wenn sie in der Spitze (cusp), das heißt für verschwindet. Eine äquivalente Bedingung ist, dass der konstante Term in der Fourier-Entwicklung mit , verschwindet: . und keine negativen n in der Entwicklung vorhanden sind (die Modulform ist holomorph). Dann verschwindet in der Spitze . Man kann auch Spitzenformen zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe betrachten, dann gibt es im Allgemeinen mehrere Spitzen, parametrisiert durch rationale Zahlen im Unendlichen. Das entspricht dem Grenzwert für im Transformationsgesetz der Modulform, wobei sich nur endliche viele Spitzen im Unendlichen ergeben als Repräsentant jeweils eines Orbits. Kompaktifiziert man den Quotientenraum der oberen Halbebene durch Hinzunahme der Spitzen erhält man die Riemannsche Flächen der zugehörigen Modulkurven.