zyklische Gruppe

In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element erzeugt wird. Sie besteht nur aus Potenzen des Erzeugers : Eine Gruppe ist also zyklisch, wenn sie ein Element enthält, sodass jedes Element von eine Potenz von ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element gibt, sodass selbst die einzige Untergruppe von ist, die enthält. In diesem Fall wird ein erzeugendes Element oder kurz ein Erzeuger von genannt. Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen und können vollständig klassifiziert werden: Für jede natürliche Zahl (für diese Aussage betrachten wir 0 nicht als natürliche Zahl) gibt es eine zyklische Gruppe mit genau Elementen, und es gibt die unendliche zyklische Gruppe, die additive Gruppe der ganzen Zahlen . Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph.