處處不連續函數

狄利克雷函数（英語：Dirichlet function）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为 的函数，用 或者 表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。 狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。 在數學領域，這是一個病態函數。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，並且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）。该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。