equicontinuità

In matematica, l'equicontinuità di una famiglia di funzioni continue è la proprietà di ogni sua funzione di ammettere il medesimo modulo di continuità. Il concetto di equicontinuità, frequentemente utilizzato in analisi funzionale, si applica in generale a famiglie numerabili di funzioni, e dunque alle successioni di funzioni. Considerando lo spazio delle funzioni continue su uno spazio di Hausdorff compatto , il teorema di Ascoli-Arzelà afferma che un sottoinsieme di è compatto se e solo se è chiuso, puntualmente limitato ed equicontinuo. In modo equivalente, è equicontinuo se è relativamente compatto in con la metrica data da: Come corollario, una successione in è uniformemente convergente se e solo se è equicontinua e converge puntualmente ad una funzione (non necessariamente continua). In particolare, è continuo il limite di una successione equicontinua, che converge puntualmente, di funzioni continue definite su uno spazio metrico o localmente compatto (in generale, uno spazio topologico ). Se inoltre sono olomorfe, anche il limite è una funzione olomorfa. Il principio dell'uniforme limitatezza afferma che, dato uno spazio botte ed uno spazio localmente convesso , ogni famiglia di operatori lineari puntualmente continui da in è equicontinua (e anche uniformemente equicontinua).