有限生成代数

体上有限生成環 (たいじょうゆうげんせいせいかん; finitely generated ring over a field）とは、ある（可環な）体 k 上有限個の元で生成される可換環の事を言う。k 上の多項式環 k[x1 , ... , xn] の剰余環として得られる環といっても同じである。体上有限生成環は、可換環論的見地からはネーター環の重要な例でありヴォルフガング・クルルらによるネーター環のイデアル論のひな形であった。また体上有限生成環の理論は代数幾何学におけるアフィン代数多様体の理論、すなわち、代数多様体の局所理論と本質的に等価である点からも重要である。本項では、 (Noether normalization lemma)、、 (Hilbert's Nullstellensatz) について説明する。