函数的平方根

数学において函数的平方根（かんすうてきへいほうこん、英: functional square root）あるいは半反復（half iterate）とは、合成の演算に関する函数の平方根のことである。言い換えると、ある函数 g の函数的平方根 f とは、すべての x に対して f(f(x)) = g(x) を満たすもののことを言う。 * 例えば、f(x) = 2x2 は g(x) = 8x4 の函数的平方根である。 * 同様に、チェビシェフ多項式 g(x) = Tn(x) の函数的平方根は f(x) = cos (√n arccos(x)) である。これは一般には多項式ではない。 * また、f(x) = x/(√2+x(1−√2)) は g(x) = x/(2−x) の函数的平方根である。 f が g の函数的平方根であることは、f = g[½] あるいは f = g½ と表記される。 * 指数函数の函数的平方根は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究された。 * ℝ 上での f(f(x)) = x の解（実数の対合）は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれる。特殊解はbc ≠ 1 に対して f(x) = (b − x)/(1 + cx) である。これは c = 0 あるいは |b| ≅ |c| ≫ 1 (f(x) = 1/x) を含む。バベッジは、任意の与えられた解 f に対して、任意の可逆函数 Ψ による函数的共役 もまた解であることを注記している。 任意の函数的 n-乗根（n= ½ だけでなく、連続、負、無限小の n も含む）をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る。