целый элемент

Целый элемент — элемент заданного коммутативного кольца с единицей относительно подкольца , являющийся корнем приведённого многочлена с коэффициентами в , то есть такой , для которого существуют коэффициенты , такие что: . Если каждый элемент является целым над , кольцо называется целым расширением (или просто кольцом, целым над ). Если и — поля, терминам «цел над…» и «целое расширение» соответствуют термины «алгебраичен над…» и «алгебраическое расширение». Частный случай, особенно важный в теории чисел, — комплексные числа, являющиеся целыми над , называемые целыми алгебраическими числами. Множество всех элементов , целых над , образует кольцо; оно называется целым замыканием в . Целое замыкание рациональных чисел в некотором конечном расширении поля называется кольцом целых поля , этот объект является фундаментальным для алгебраической теории чисел. Целые числа — единственные элементы , являющиеся целыми над (что может служить объяснением использования термина «целый»). Гауссовы целые числа, как элементы поля комплексных чисел, являются целыми над . Целое замыкание в круговом поле — это . Если — алгебраическое замыкание поля , то цело над . Если конечная группа действует на кольце гомоморфизмами колец, то является целым над множеством элементов, являющихся неподвижными точками действия группы.