多重線型写像

線型代数学において、多重線型写像（たじゅうせんけいしゃぞう、英: multi­linear map）は各変数ごとに線型な多変数関数である。正確には、多重線型写像は、 および W をベクトル空間（あるいは可換環上の加群）として、次の性質を満たす写像 である： 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 は vi に関して線型である。 一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。 すべての変数が同じ空間に属していれば、、反対称、 k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。 多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。多様体の枠組みや微分幾何学においても多くの応用がある。