Вычислительная устойчивость

В вычислительной математике вычислительная устойчивость является обычно желательным свойством численных алгоритмов. Точное определение устойчивости зависит от контекста. Один из них — численная линейная алгебра, другой — алгоритмы решения обыкновенных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с помощью дискретного приближения. В численной линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к различным особенностям, таким как очень малые или почти совпадающие собственные значения. С другой стороны, в численных алгоритмах для дифференциальных уравнений проблема заключается в увеличении ошибок округления и/или изначально небольших флуктуаций в исходных данных, которые могут привести к значительному отклонению окончательного ответа от точного решения. Некоторые численные алгоритмы могут ослаблять небольшие отклонения (ошибки) во входных данных; другие могут увеличить такие ошибки.Расчёты, которые, как можно доказать, не увеличивают ошибки аппроксимации, называются вычислительно устойчивыми.Одна из распространённых задач численного анализа — попытаться выбрать надёжные алгоритмы, то есть не дать сильно отличающийся результат при очень небольшом изменении входных данных. Противоположным явлением является неустойчивость. Как правило, алгоритм включает в себя приближённый метод, и в некоторых случаях можно доказать, что алгоритм будет приближаться к правильному решению в некотором пределе (при использовании на самом деле действительных чисел, а не чисел с плавающей запятой). Даже в этом случае нет гарантии, что он будет сходиться к правильному решению, потому что ошибки округления или усечения с плавающей точкой могут расти, а не уменьшаться, что приведёт к экспоненциальному росту отклонения от точного решения.