редуктивная группа

Редуктивная группа — алгебраическая группа , для которой её является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля. Линейно-редуктивная группа — группа, любое которой вполне приводимо. Любая линейно-редуктивная группа редуктивна. Над полем характеристики 0 верно и обратное, то есть эти свойства равносильны. Редуктивные группы включают большинство важных групп, таких как полная линейная группа GL(n) обратимых матриц, специальная ортогональная группа SO(n), и симплектическая группа Sp(2n). Простые алгебраические группы и (более общие) полупростые алгебраические группы являются редуктивными. Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одна и та же над любым алгебраически замкнутым полем. В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Дынкина, как в теории или комплексных полупростых групп Ли. Редуктивные группы над произвольным полем классифицировать труднее, но для многих полей, таких как поле вещественных чисел R или числовое поле, классификация вполне понятна. Классификация простых конечных групп утверждает, что большинство конечных простых групп возникает как группа G(k) k- простой алгебраической группы G над конечным полем k или как вариант такого построения с небольшими отклонениями. Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучать представления редуктивной группой G над полем k как алгебраические группы, которые являются действиями группы G на k-векторном пространстве. Можно также изучать комплексные представления группы G(k), когда k является конечным полем, бесконечномерным вещественной редуктивной группы или . Структурная теория редуктивных групп используется во всех этих областях.