Biforcazione a nodo sella

In Matematica, una biforcazione a nodo sella è una biforcazione locale nella quale, al variare del parametro, si ha la creazione o la distruzione dei punti d'equilibrio.L'esempio classico di nodo sella è dato dall'equazione differenziale dove r è il parametro che può assumere valori positivi, negativi o nulli. Campo vettoriale della biforcazione a nodo sella * Se vi sono due punti d'equilibrio, uno stabile a ed uno instabile a . * Quando (punto di biforcazione) vi è esattamente un punto fisso. Tale punto (non più iperbolico) è chiamato punto sella ed è originato dal collasso in un unico punto dei due punti d'equilibrio visti prima. Per tale ragione conserva a sinistra le caratteristiche di stabilità e a destra quelle di instabilità. * Se i punti di equilibrio scompaiono. Dal si vede che tutti i punti di equilibiro sono instabili Un altro esempio di biforcazione a sella è dato dall'equazione differenziale: In tal caso si ottengono risultati speculari a quanto visto sopra rispetto al valore critico ovvero: * nessuno punto di equilibrio per ; * un punto d'equilibrio semistabile (instabile a destra e stabile a sinistra«») in per ; * due punti di equilibrio per , di cui: uno instabile in ed uno stabile in . Anche il diagramma di biforcazione risulta speculare al diagramma della prima forma rispetto al punto . Le due parabole sono dette forme canoniche o forme normali delle biforcazioni a nodo sella, in quanto ogni altra biforcazione dello stesso tipo può essere ricondotta qualitativamente ad una delle due. Inoltre anche altri tipi di sistemi si possono studiare, in determinati intervalli, come fossero nodi sella.