tensor deformação

O tensor deformação ou tensor de deformações é um tensor simétrico usado em mecânica de meios contínuos e para caracterizar a alteração de forma e volume de um corpo. Em três dimensões um tensor (de ordem dois) de deformação. Este tensor também é conhecido com tensor de deformação Green-Lagrange. Podemos calcular as deformações através da variação docomprimento de um elemento de linha arbitrário (na configuração deformada)com relação a (na configuração indeformada). A mudança de tal elemento delinha pode ser interpretada como um mapeamento da posição final pela posiçãoinicial expressa por meio de gradientes, ou seja, através de uma matrizjacobiana 3x3(caso tridimensional). Essa matriz é representada, como: O quadrado do comprimento euclidiano dodiferencial de linha é dado por: A metade da diferença entre oscomprimentos final e inicial é dado por: Onde I é a matriz identidade. Define-se,portanto, o tensor de Green-Lagrange comouma relação entre comprimentos de linha, de modo que teremos: Podemos, também, descrever nosso tensor em função do campode deslocamento, sendo essa forma mais utilizada. Dado que a matriz jacobianapode ser escrita em função dos deslocamentos tem-se Peladefinição de campos de deslocamento, podemos modificar a expressão anteriorpara: Ao inserirmos no tensor de deslocamentosde Green-Lagrange, obtém-se: Podemos simplificar nosso sistema determinando que as derivadas do deslocamento são suficientemente pequenas para que seus produtos sejam desconsiderados. Isso equivale a dizer que os deslocamentos são infinitesimais, ou seja as configurações iniciais e finais se confundem. Chamamos essa simplificação de hopótese dos pequenos deslocamentos. Sendo assim, podemos escrever nossa expressão na forma: Onde cada um dos componentes do tensor anterior é uma função cujo domínio é o conjunto de pontos do corpo cuja deformação pretende caracterizar-se. O tensor de deformações está relacionado com o tensor de tensões mediante as generalizadas, que são relações do tipo termodinâmico ou equações constitutivas para o material do qual é feito o corpo. Tendo-se em conta que estes componentes εij) em geral variam de ponto a ponto do corpo e portanto a deformação de corpos tridimensionais é representada por um campo tensorial.