subdifferenziale

Il subdifferenziale è un concetto matematico utilizzato nello studio delle funzioni convesse. Una funzione convessa (in blu) e due rette di supporto (in rosso) Sia una funzione convessa non necessariamente differenziabile; si definisce il subdifferenziale di f in x0 come: Si dice che è un subgradiente in x0. Un subgradiente quindi individua un iperpiano di supporto al grafico della funzione, e viceversa. Ad esempio in R un subgradiente è il coefficiente angolare della tangente al grafico in x0 (o la derivata della funzione che la definisce), come mostrato in figura; analogamente in Rn un subgradiente è il gradiente di un iperpiano di supporto. Il subdifferenziale così definito è una diretta generalizzazione del caso differenziabile, infatti se f è differenziabile il subdifferenziale contiene solo il gradiente della funzione. Inoltre in questo casoil membro destro della diseguaglianza che definisce un subgradiente è un'approssimazione di Taylor troncata al primo ordine. Tuttavia generalizzando si perdono alcune proprietà; il subdifferenziale infatti non è più un operatore differenziale ma un insieme. Il subdifferenziale gode di alcune utili proprietà: * se la funzione è convessa (continua) allora in ogni punto esiste un subgradiente, * se 0 è un subgradiente di f in x allora x è un minimo globale di f, * se x è un minimo globale di f allora 0 è un subgradiente di f in x, * è un insieme convesso. I subgradienti, comunque, non sono generalmente unici. In particolare, quando la funzione non è differenziabile, posso esistere più iperpiani di supporto al grafico della funzione (come mostrato in figura). Pertanto anche un punto di minimo può avere un subgradiente non nullo.