Zeitkomplexität

Unter der Zeitkomplexität eines Problems wird in der Informatik die Anzahl der Rechenschritte verstanden, die ein optimaler Algorithmus zur Lösung dieses Problems benötigt, in Abhängigkeit von der Länge der Eingabe. Man spricht hier auch von der asymptotischen Laufzeit und meint damit, in Anlehnung an eine Asymptote, das Zeitverhalten des Algorithmus für eine potenziell unendlich große Eingabemenge. Es interessiert also nicht der Zeitaufwand eines konkreten Programms auf einem bestimmten Computer, sondern viel mehr, wie der Zeitbedarf wächst, wenn mehr Daten zu verarbeiten sind, also z. B. ob sich der Aufwand für die doppelte Datenmenge verdoppelt oder quadriert (Skalierbarkeit). Die Laufzeit wird daher in Abhängigkeit von der Länge n der Eingabe angegeben und für immer größer werdende n asymptotisch unter Verwendung der Landau-Notation (Groß-O-Notation) abgeschätzt. Eine genauere Laufzeitabschätzung von Rekursionsgleichungen bietet auch das Mastertheorem oder die Substitutionsmethode. Wird der Begriff der Zeitkomplexität auf einen konkreten Algorithmus bezogen, so ist damit die Anzahl der Schritte gemeint, die der Algorithmus für die Bearbeitung einer Eingabe mit bestimmter Länge n benötigt (im besten, schlechtesten oder durchschnittlichen Fall, siehe unten). In der Komplexitätstheorie ist der eigentliche Gegenstand der Betrachtung aber die Komplexität von Problemen. Die Komplexität von Algorithmen ist nur insofern interessant, als daraus Aussagen über das behandelte Problem geschlossen werden können. In der Praxis ist diese aber häufig interessant, vor allem um für einen konkreten Kontext einen geeigneten Algorithmus auszuwählen: So ist Bubblesort zwar für große Datenmengen ein recht langsames Verfahren, eignet sich aber aufgrund des geringen Overheads gut für kleine Datenmengen (insbesondere für n ≤ 8). Die Zeitkomplexität wird immer in Bezug auf ein Maschinenmodell angegeben. In der Regel ist das Bezugsmodell die Turingmaschine, alternativ kann die Zeitkomplexität aber auch in Bezug auf eine Registermaschine angegeben werden, die in ihrem Verhalten mehr den tatsächlich existierenden Computern ähnelt. Für parallele Algorithmen kann ein paralleles Maschinenmodell wie die PRAM verwendet werden. Ein in Beziehung zum PRAM Modell stehendes Modell ist das Externspeichermodell. Jedes Problem, welches effizient im PRAM gelöst werden kann, kann auch effizient im Externspeicher berechnet werden. Zudem wird zwischen der Komplexität für deterministische und nichtdeterministische Maschinen unterschieden. In der Komplexitätstheorie ist die Zeitkomplexität neben der Platzkomplexität der am häufigsten untersuchte Aspekt von Algorithmen und Problemen. Die Zeitkomplexität aller Algorithmen, die ein Problem lösen, liegt beispielsweise einer Reihe bedeutsamer Komplexitätsklassen zu Grunde.