relazione totale

In matematica una relazione binaria R entro un insieme X si dice totale se comunque scelti due elementi a e b in X o a si trova nella relazione con b, o b si trova nella relazione con a (senza escludere che si riscontrino entrambi i fatti). Con notazione matematica la condizione perché R sia una relazione totale entro X si scrive . Data una relazione generica R su un insieme X, si dice coppia confrontabile di X per R ogni coppia {a,b} tale che a R b oppure b R a. Quindi si può dire che una relazione binaria entro un insieme è totale se tutte le coppie non ordinate dell'insieme sono dotate della confrontabilità. Un esempio di relazione totale è la relazione sull'insieme dei numeri reali "essere minore o uguale di": infatti dati due numeri o coincidono, o l'uno è minore dell'altro; in altre parole due numeri reali sono sempre confrontabili rispetto alla relazione . Non è invece una relazione totale sui reali la relazione "essere minore di": due numeri coincidenti non sono confrontabili rispetto ad essa. In generale ogni relazione totale deve essere una relazione riflessiva. Invece non è necessariamente una relazione simmetrica, come mostra la , e non è necessariamente una relazione transitiva, come mostra quella costituita dalle coppie (a,b), (b,c) e (c,a). Altre relazioni non totali sono la relazione tra insiemi "essere sottoinsieme di" e la relazione di divisibilità fra interi positivi. La relazione è totale anche se ridotta a sottoinsiemi di come l'insieme dei razionali o l'insieme degli interi. In effetti si dimostra in generale che ogni totale è anch'essa totale. Le relazioni totali di maggiore interesse, come suggeriscono gli esempi dati, sono gli ordinamenti totali.