Metoda WKB

Metoda WKB (Wentzla-Kramersa-Brillouina) lub przybliżenie WKB – w mechanice kwantowej przybliżona metoda rozwiązywania równania Schrödingera polegająca na założeniu, że funkcja falowa jest lokalnie falą płaską zniekształconą przez obecność potencjału. Niech stacjonarne równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez Dla rozwiązaniami są fale płaskie dane przez Dla dowolnego potencjału można założyć podobną postać funkcji falowej, tzn. czyli tak, jakby pęd k był lokalny i był funkcją położenia Zakładając ponadto i zbierając wyrazy w najniższym rzędzie otrzymujemy układ równań Z rozwiązaniami Do wyznaczenia pozostają teraz energie, które muszą być dyskretne dla stanów związanych. Niech będą tzw. punktami powrotu, tzn. punktami których nie mogłaby przekroczyć cząstka klasyczna o znikającej podczas oscylacji energii kinetycznej: Na wzór najprostszej kwantyzacji atomu Bohra energie stanów związanych znajdujemy z warunku wartości całki lokalnego pędu po wymiarze liniowym oscylatora harmonicznego, zakładając że wszystkie potencjały są w sensie wartości tej całki harmoniczne, tzn. a są dokładnymi energiami oscylatora harmonicznego. Całka ta dla oscylatora daje się łatwo policzyć ponieważ wyraża pole półkola o promieniu proporcjonalnym do energii i otrzymujemy dla dowolnego potencjału: Aby otrzymać energie stanów związanych w metodzie WKB należy: 1. * Wyznaczyć punkty powrotu jako funkcje energii 2. * Obliczyć całkę pędu lokalnego w funkcji energii. 3. * Rozwiązać otrzymane równanie na energie z warunku kwantyzacji.