佐恩引理

佐恩引理（Zorn's Lemma）也被称为库拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合论中一个重要的定理，其陳述為： 在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，則此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。 佐恩引理是以数学家马克斯·佐恩的名字命名的。 具体来说，假设是一个偏序集，它的一个子集称为是一个全序子集，如果对于任意的有或。而称为是有上界的，如果中存在一个元素，使得对于任意的，都有。在上述定义中，并不要求一定是中的元素。而一个元素称为是極大的，如果且，则必然有。 佐恩引理、良序定理和选择公理彼此等价，在集合论的Zermelo-Fraenkel公理基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。佐恩引理在数学的各个分支中都有重要地位，例如在证明泛函分析的哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem），證明任一向量空间必有基，拓扑学中证明紧空间的乘积空间仍为紧空间的吉洪诺夫定理，和抽象代数中证明任何含幺环的真理想必然包含于一个极大理想和任何域必然有代数闭包的过程中，佐恩引理都是关键。