Variables canónicas

En mecánica clásica, las coordenadas de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas canónicas útiles en la resolución de muchos sistemas hamiltonianos integrables. El método de acciones-ángulos es útil para obtener las frecuencias de movimientos oscilatorios o rotacionales sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento. Las coordenadas de acción-ángulo se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables (por tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo y por consiguiente la energía se conserva). Las variables de acción-ángulo definen un toro invariante, llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro, con las variables de ángulo parametrizando las coordenadas del toro. Las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld, usadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del desarrollo de la mecánica ondulatoria, afirman que la acción debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck. De forma similar, el trabajo de Einstein en la y la dificultad para cuantizar sistemas no integrables se expresa en términos de los toros invariantes de las coordenadas de acción-ángulo. Las coordenadas de acción-ángulo son también útiles en teoría de perturbaciones en mecánica hamiltoniana, especialmente para determinar . Uno de los primeros resultados de teoría del caos para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con pocos grados de libertad es el teorema KAM, que afirma que los toros invariantes son estables bajo perturbaciones pequeñas. El uso de variables de acción-ángulo fue fundamental en la resolución de la red de Toda y en la definición de los pares de Lax o, de forma más general, en la idea de evolución de un sistema.