clausura algebraica

En Álgebra, la clausura algebraica (o cerradura algebraica) de un cuerpo K es una extensión algebraica de K que sea algebraicamente cerrada. Es una de las muchas que existen en matemáticas. Usando el Lema de Zorn, puede probarse que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un cuerpo K es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de K. Por esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K, más que de una clausura algebraica de K. La clausura algebraica de un cuerpo K puede pensarse como la mayor extensión algebraica de K.Para ver esto, notar que si L es cualquier extensión algebraica de K, entonces la clausura algebraica de L es también una clausura algebraica de K, y así L está contenida en la clausura algebraica de K.La clausura algebraica de K es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a K, ya que si M es cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K, entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman una clausura algebraica de K. La clausura algebraica de un cuerpo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es infinito numerable si K es finito. En el caso del conjunto R de los números reales, su clausura algebraica es el conjunto C de los números complejos.