algebraïsche meetkunde

Algebraïsche meetkunde is een deelgebied van de wiskunde dat technieken uit de abstracte algebra, met name de commutatieve algebra, combineert met de taal en de problemen van de meetkunde. Algebraïsche meetkunde neemt een centrale plaats in de moderne wiskunde in en heeft meerdere conceptuele verbindingen met uiteenlopende gebieden als complexe analyse, topologie en getaltheorie. Als er meer dan één variabele is, komt de meetkunde eraan te pas. Aanvankelijk een studie van polynomiale vergelijkingen in meerdere variabelen, begint het onderwerp van de algebraïsche meetkunde, waar het oplossen van vergelijkingen ophoudt, en het is in de algebraïsche meetkunde minstens zo belangrijk om de totaliteit van oplossingen van een stelsel van vergelijkingen te begrijpen, dan om een oplossing te vinden; dit alles leidt naar enkele van de diepste wateren in de gehele wiskunde, zowel conceptueel als technisch. Het fundamentele studieobject in de algebraïsche meetkunde zijn algebraïsche variëteiten, meetkundige uitingen van oplossingen van systemen van veeltermvergelijkingen. Algebraïsche vlakkrommen, waaronder lijnen, cirkels, parabolen, lemniscaten en ovalen van Cassini, vormen een van de best bestudeerde klassen van algebraïsche variëteiten. Een punt in het vlak behoort bij een algebraïsche kromme, indien zijn coördinaten voldoen aan een gegeven veeltermvergelijking. Fundamentele vragen gaan over de relatieve positie van de verschillende krommen en de relaties tussen de krommen, die door verschillende vergelijkingen gegeven worden. Het idee van coördinaten volgens René Descartes staat in de algebraïsche meetkunde centraal, maar de notie van coördinaten heeft beginnend in de vroege 19e eeuw een reeks van opmerkelijke veranderingen ondergaan. Voor die tijd werd ervan uitgegaan dat coördinaten tupels van reële getallen waren, maar dit veranderde toen eerst complexe getallen, en later ook elementen van een willekeurig veld ook aanvaardbaar werden. Homogene coördinaten uit de projectieve meetkunde boden een uitbreiding van de notie van een coördinatenstelsel in een andere richting, en verrijkte de werkingssfeer van de algebraïsche meetkunde. Veel van de ontwikkeling van de algebraïsche meetkunde in de 20e eeuw kwamen tot uiting binnen een abstract algebraïsch raamwerk, waar steeds meer nadruk werd gelegd op 'intrinsieke' eigenschappen van algebraïsche variëteiten, eigenschappen die niet afhankelijk zijn van een bepaalde wijze van inbedding van de variëteit in een ambiente coördinatenruimte; dit komt overeen met parallelle ontwikkelingen in de topologie en de complexe meetkunde. Een belangrijk onderscheid tussen de klassieke projectieve meetkunde van de 19e eeuw en moderne algebraïsche meetkunde, in de vorm die eraan werd gegeven door Grothendieck en Serre, is dat de klassieke projectieve meetkunde gericht is op de meer meetkundige notie van een punt, terwijl de moderne algebraïsche meetkunde de meer analytische concepten van een reguliere functie en een benadrukt en zich daarbij uitgebreid baseert op de schoventheorie. Een ander belangrijk verschil ligt in de reikwijdte van het onderwerp. Grothendiecks idee van een schema biedt de taal en de hulpmiddelen voor een meetkundige behandeling van willekeurige commutatieve ringen en overbrugt, in het bijzonder, de verschillen tussen de algebraïsche meetkunde en de algebraïsche getaltheorie. Andrew Wiles zijn gevierde bewijs van de laatste stelling van Fermat is een levend bewijs van de kracht van deze aanpak. André Weil, Alexander Grothendieck en Pierre Deligne lieten zien dat de fundamentele ideeën van de topologie van gladde variëteiten diepe analogieën hebben in de algebraïsche meetkunde van eindige velden.