Funzione antiolomorfa

In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte da quest'ultime. Una funzione definita in un insieme aperto nel piano complesso è detta antiolomorfa se è derivabile in senso reale (vale a dire, se e sono funzioni reali derivabili) e la sua derivata rispetto a è identicamente nulla in .Questa definizione si contrappone ad una delle definizioni equivalenti di funzione olomorfa, dove viene richiesto che sia derivabile in senso reale e la sua derivata rispetto a sia nulla. Dalla relazione segue che è antiolomorfa se e solo se è olomorfa. Osserviamo che se è una funzione olomorfa in un insieme aperto , allora è una funzione antiolomorfa in , dove è la riflessione rispetto all'asse x dell'insieme ; in altre parole, è l'insieme dei complessi coniugati degli elementi di . Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile in un intorno di ogni punto del suo dominio. Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Per definizione, una funzione che dipenda sia da che da non può essere olomorfa né antiolomorfa.