módulo artiniano

En álgebra abstracta, un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de la cadena descendente en el conjunto parcialmente ordenado de sus submódulos. Es el concepto equivalente, para los módulos, a los anillos artinianos para los anillos, y un anillo es artiniano precisamente cuando es un módulo artiniano sobre sí mismo (respecto de la multiplicación por la izquierda o la derecha). Se nombra así a ambos conceptos por Emil Artin. Cuando se asume el axioma de elección, la condición de la cadena descendente es equivalente a la condición del mínimo, con lo que alternativamente se puede utilizar ésta en la definición. Al igual que los módulos noetherianos, los artinianos satisfacen la siguiente propiedad hereditaria: * Si M es un R-módulo artiniano, también lo es cualquier submódulo y cualquier cociente de M. El recíproco también es cierto: * Si M es un R-módulo y N un submódulo artiniano tal que M/N es artiniano, entonces M es artiniano. En consecuencia, cualquier módulo finitamente generado sobre un anillo artiniano es a su vez artiniano.​ Puesto que un anillo artiniano es a su vez un anillo noetheriano, y los módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos son también noetherianos,​se verifica que para un anillo artiniano R, cualquier R-módulo finitamente generado es a la vez noetheriano y artiniano, y de ; sin embargo, si R no es artiniano, o si M no es finitamente generado, pueden encontrarse contraejemplos.