Закон Бенфорда

Зако́н Бе́нфорда, или закон первой цифры — закон, описывающий вероятность появления определённой первой значащей цифры в распределениях величин, взятых из реальной жизни. Закон верен для многих таких распределений, но не для всех. Также делает ряд предсказаний частоты встречаемости второй и третьей цифры. Закон, обнаруженный Фрэнком Бенфордом, выглядит так: если у нас основание системы счисления b (b > 2), то для цифры d (d ∈ {1, …, b − 1}) вероятность быть первой значащей цифрой составляет Это в точности расстояние между d и d+1 на логарифмической шкале с основанием b. Для равномерного распределения, если вы имеете цифры 1, 2, 3, 4 ,5 ,6 ,7, 8, 9, 0 (=10), то у вас есть 10 отрезков (от 0 до 1,…, от 8 до 9, от 9 до 10). Обратите внимание, все отрезки лежат в диапазоне [0, 10]. Для отрезка [d, d+1] равномерное распределение должно быть пропорционально его длине, то есть длине отрезка [d, d+1], то есть (d+1)-d, поделённое на длину отрезка [0, 10], которая равна 10. . Если логарифмы непрерывно распределены, вы должны взять логарифм числа перед тем, как рассмотреть отрезки. Для логарифмов рассматриваем отрезки от 1 до 10 (так как log100 не имеет смысла). В этом случае вы будете иметь интервалы от log101 до log102,…, от log108 до log109, от log109 до log1010. Все отрезки лежат в интервале [log101, log1010]=[0, 1]. Длина последнего равна 1. Итак, рассматриваем отрезок [d, d+1] на обычной шкале, в логарифмической шкале равномерное распределение будет пропорционально его длине, то есть: . В таблице ниже представлены найденные Бенфордом значения вероятностей первой цифры для десятичной системы счисления. При этом распределение зависит только от системы счисления, но не от единицы измерения. Другими словами, если тонны перевести в фунты, а квадратные километры — в акры, распределение не изменится.