Bernoulli-Prozess

Ein Bernoulli-Prozess oder eine Bernoulli-Kette (benannt nach Jakob I Bernoulli) ist eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Treffer oder Niete. Zudem muss die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, p, und somit auch die für eine Niete, 1-p, bei jedem der Experimente dieselbe sein. In mathematischer Terminologie ist ein Bernoulli-Prozess also ein zeitlich diskreter stochastischer Prozess, der aus einer endlichen oder abzählbar-unendlichen Folge von unabhängigen Versuchen mit Bernoulli-Verteilung zum selben Parameter besteht. Das heißt, für jeden der Zeitpunkte 1, 2, 3, … wird „ausgewürfelt“, ob ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit eintritt oder nicht. Hier ist ein Beispiel für eine mögliche Realisierung eines Bernoulli-Prozesses; das Symbol ♦ steht für „Ereignis tritt ein“ (kurz „Erfolg“), ◊ für „Ereignis tritt nicht ein“ („Misserfolg“), diese konkrete Folge von Ereignissen könnte z. B. bei eintreten, sodass „Erfolg“ seltener ist als „Misserfolg“: ◊-♦-◊-♦-◊-◊-♦-◊-♦-◊-♦-◊-◊-◊-◊-◊-♦-◊-◊-◊-◊-◊-◊-◊-… Der Prozess kann durch eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen beschrieben werden, von denen jede mit der konstanten Wahrscheinlichkeit den Wert 1 (Erfolg) und mit der Wahrscheinlichkeit den Wert 0 (Misserfolg) annimmt. Je nach Fragestellung interessiert man sich für eine oder mehrere der folgenden Zufallsvariablen: * Die Anzahl erfolgreicher Versuche nach Durchführung von insgesamt Versuchen; sie folgt einer Binomialverteilung. Es gilt . * Die Anzahl von Versuchen, die benötigt werden, um eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen; sie folgt der negativen Binomialverteilung. Insbesondere ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg geometrisch verteilt.