ограниченное множество

Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства. Исходное понятие — ограниченное числовое множество, таковым является множество вещественных чисел , для которого существуют числа такие, что для любого из имеет место: , иными словами, целиком лежит в отрезке . Числа и называются в этом случае нижней и верхней границей множества соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно. Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью, ограниченное снизу — точной нижней гранью (теорема о гранях). Конечное множество точек, интервал числовой оси (где — конечные числа), конечное объединение ограниченных множеств — ограниченные множества; множество целых чисел — неограниченно; множество натуральных чисел с точки зрения системы вещественных чисел — ограниченно снизу и неограниченно сверху. Ограниченная числовая функция — функция , область значений которой ограниченна, то есть существует такое , что для всех имеет место неравенство . В частности, ограниченная числовая последовательность — последовательность , для которой существует такое, что для всех выполнено .