calcul des variations

Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du XVIIIe siècle jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950. Le calcul des variations a des applications dans de nombreux domaines : 1. * l'inconnue étant une courbe paramétrée, on recherche une courbe de longueur minimale (ou extrémale), autrement dit une géodésique ; c'est une question fondamentale en géométrie différentielle ; 2. * l'inconnue étant une surface, on recherche, pour un périmètre donné, la surface d'aire maximale (problème d'isopérimétrie) ; 3. * en physique, le principe de moindre action affirme que les mouvements d'un système matériel se produisent de manière, sinon à minimiser l'action, du moins à rendre celle-ci stationnaire. Ces mouvements peuvent donc être déterminés en minimisant ou en rendant stationnaire cette fonctionnelle, ce qui fait du calcul des variations un outil fondamental pour les physiciens (formulation variationnelle des équations de la physique) ; 4. * une condition nécessaire d'extremum (ou plus généralement de stationnarité) de la fonctionnelle est l'équation d'Euler-Lagrange. Or, il arrive que le but qu'on se propose soit précisément la résolution d'une équation différentielle qu'on montre (en résolvant le « problème inverse du calcul des variations ») être l'équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel ; la résolution de celui-ci (effectuée, par exemple, en passant au ) fournit la solution de celle-là. Les principaux résultats du calcul des variations « classique », qui fait l'objet de cet article sont : 1. * l'équation d'Euler-Lagrange (condition nécessaire du premier ordre) ; 2. * les conditions de transversalité (dans le cas de problèmes à extrémités variables) ; 3. * les conditions du second ordre de minimum faible de Legendre et de Jacobi ; 4. * les conditions du second ordre de minimum fort de Weierstrass ; 5. * la relation entre formalisme lagrangien et le formalisme hamiltonien (transformation de Legendre) ; 6. * les équations de Hamilton-Jacobi et le théorème de Jacobi ; 7. * enfin, pour ses applications à la physique, le théorème de Noether.