Problema delle monete

In matematica, un problema delle monete è ciascuna classe di problemi della forma generale: Si hanno solo certe monete da utilizzare, diciamo monete da sette- e da dieci-quatloo (il quatloo è una moneta presente in un episodio di Star Trek). Si possono avere di ciascun taglio quante monete si vogliano; si può fare il cambio esatto per ogni numero di quatloo, oppure si possono avere tutti i numeri da una certa quantità in poi? (Nell'esempio, non c'è modo di fare il cambio di otto quatloos, ma ogni numero più grande di Q53 può essere ottenuto.) Se è possibile, qual è la sua grandezza? (questo bisogno non riguarda solo le monete, ma la stessa domanda può essere posta per francobolli, scatole, o il ). Se tutte le monete sono un numero pari di quatloos, non si possono fare i cambi esatti per nessun numero dispari di quatloos; questo sarà vero anche se i tagli delle monete hanno come divisore comune tre o numeri più grandi. In un linguaggio più preciso si ha: Dati n interi positivi: , il cui massimo comun divisore è 1, trova il più grande numero N che non può essere espresso comeper qualche intero non-negativo . Se il massimo comun divisore non è uguale a 1 allora non esiste, poiché solo i multipli del MCD possono essere scritti come combinazioni lineari come sopra; ma se il MCD è 1, allora esiste. Il numero più grande trovato è chiamato a volte , mentre l'equazione Diofantea è a volte chiamata equazione di Frobenius.