凸函数

凸函数（英文：Convex function）是指（圖像上方的點的集合）为凸集的一类函数。換言之，其圖像上，任意兩點連成的線段，皆位於圖像的上方。二階可導的一元函數為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數在整個定義域上非負。一元凸函數的熟知例子有二次函数和指数函数。直觀理解，凸函數的圖像形如開口向上的杯，而相反，凹函数則形如開口向下的帽。 注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。 凸函數是多個數學分支的重要概念，尤其在最优化研究中，凸函數的最小化問題有許多方便的性質。舉例，定義在凸開集上的嚴格凸函數，至多只有一個極小值。即使在無窮維空間中，在合適的假設下，凸函數（在此定義域上，常稱為凸泛函）仍具有此種性質，故凸泛函是变分法中，研究得較透徹的一類泛函。概率论中，凸函數作用在某随机变量期望值所得的結果，總不大於對隨機變量先取函數值再取期望，即 稱為延森不等式。該不等式可以推導出均值不等式及赫尔德不等式等結果。