cœur d'un sous-groupe

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, l'intersection des conjugués, dans un groupe , d'un sous-groupe de est appelée le cœur de (dans ) et est notée cœurG(H) ou encore . Le cœur de dans est le plus grand sous-groupe normal de contenu dans . Si on désigne par / l'ensemble des classes à gauche de modulo (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, n'étant pas supposé normal dans ), on sait que opère à gauche sur / par : Le cœur de dans est le noyau de cette opération. Il en résulte que est isomorphe à un sous-groupe de (groupe des permutations de l'ensemble ). En particulier, si est d'indice fini dans , est lui aussi d'indice fini dans et cet indice divise (factorielle de ). Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjugués. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall et de (en).