尖点

幾何学における尖点（せんてん、英: cusp, 古くは尖節点 (spinode)）は、曲線に沿って走る動点がそこで向きを逆転するような曲線上の点である。尖点は曲線の特異点の一種ということになる。 解析的に媒介付けられた平面曲線 において尖点は、f および g の微分係数がともに消えているような点（つまり曲線の特異点）であって、その点での接線方向への方向微分が符号を変えるものである（ここで「接線方向」とは、その近傍の各点における傾きの極限 limg′(t)⁄f′(t) を傾きとする直線の方向の意）。媒介変数 t のただ一つの値のみで決まるという意味で尖点は「局所的な特異点」である。場合によっては尖点の定義に方向微分に関する条件を問わないこともあるが、その場合は一見すると正則点のようにも見える特異点も現れ得ることに注意すべきである。 なめらかな陰伏方程式 で定められる曲線において尖点は、F のテイラー展開の最低次の項が適当な一次多項式の冪となる点となっている（が、この性質を持つ点が必ずしも尖点となるわけではないことには注意しなければならない）。論からわかることとして、F が解析函数（たとえば多項式函数はそうである）ならば、尖点の近傍において適当な線型座標変換により曲線を と媒介表示できることが言える。ただし、a は適当な実数、m は正の偶数で、S(t) は（最も次数の低い非零項の次数）k が m より大きい冪級数とする。このとき、m をこの尖点の位数 (order) または重複度 (multiplicity) と呼び、これは F の最低次非零成分の次数に等しくなる。 これらの定義を、ルネ・トムおよびウラジーミル・アーノルドは、可微分函数の定める曲線に対するものへ一般化した。すなわち、曲線がある点に尖点を持つとは、全体空間で考えたその点の近傍上で微分同相写像が存在して、その曲線を上で定義された意味での尖点の上へ写すことができるときに言う。 文脈によっては、単に「尖点」と言えばここでいう位数 m = 2 の尖点のみを特に指すものとして定めていることもある。本項も以下そのような制限された意味でこれを用いることとする。位数 2 の尖点を持つ平面曲線は、適当な微分同相により、適当な自然数 k に対する曲線 x2 – y2k+1 = 0 の形におくことができる。