pochodna

Pochodna funkcji – nieformalnie: miara szybkości funkcji, czyli tempa zmian jej wartości względem zmian jej argumentów. Dokładna definicja pochodnej zależy od kontekstu, ponieważ pojęcie to stosuje się do funkcji różnego typu; jednak w każdym z tych przypadków pochodna to granica ilorazu różnicowego dla zerowego mianownika. Dziedziną rozważanej funkcji może być podzbiór przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru, inna rozmaitość różniczkowalna lub płaszczyzna zespolona, a zbiorem wartości mogą być oś rzeczywista, zbiór wektorów kartezjańskich lub także liczby zespolone. W niektórych przypadkach pochodna jest pojedynczą liczbą rzeczywistą lub zespoloną, a w innych – całym wektorem (kolumną); za to pochodne wyższych rzędów (iterowane) mogą być nawet macierzami i to wielowskaźnikowymi jak tensory. Od czasu wprowadzenia w XVII w. pochodne odgrywają ogromną rolę w całej analizie matematycznej i poza nią. Są podstawowym narzędziem znajdowania ekstremów i przegięć, badania monotoniczności i wypukłości funkcji, rozwijania ich w szereg potęgowy (szereg Taylora), obliczania rozmaitych przybliżeń (metody numeryczne), a podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że przez odwrócenie operacji pochodnej – czyli znalezienie funkcji pierwotnej – można wykonać całkowanie w sensie oznaczonym, m.in. obliczając rozmaite pola powierzchni, długości krzywych, objętości, prawdopodobieństwa i inne miary. Dodatkowo pochodna formalna jest narzędziem stosowanym w algebrze wielomianów traktowanych abstrakcyjnie, w oderwaniu od zmiennych rzeczywistych czy zespolonych. Za pomocą pochodnych definiuje się podstawowe wielkości fizyczne jak prędkość chwilowa, chwilowe przyspieszenie i wyższe pochodne położenia po czasie, natężenie prądu elektrycznego, rozmaite gradienty i inne. Przez to podstawowe równania fizyki teoretycznej są na ogół równaniami różniczkowymi – wiążącymi szukaną zależność (funkcję) z jej pochodnymi.