Diracdelta

De diracdelta of deltafunctie , ook wel diracimpuls of diracstoot genoemd, is een hypothetisch signaal dat oneindig kort duurt en tegelijk oneindig hoog is, zodanig dat de integraal precies gelijk is aan 1. Het is de afgeleide van de stapfunctie. Het nemen van een monster (sample) uit een signaal kan worden opgevat als de vermenigvuldiging met een diracpuls op het gewenste tijdstip. In het frequentiedomein is de diracpuls continu en strekt zich uit over het gehele bereik van frequenties. Dit maakt de diracpuls in theorie interessant als ingangssignaal om de eigenschappen van een systeem mee te onderzoeken, maar in de praktijk is een diracpuls alleen te benaderen met een blokgolf van korte duur en beperkte hoogte. De diracdelta is geen functie maar een distributie of maat. De diracdelta werd ingevoerd door de natuurkundige Paul Dirac en gedefinieerd als of . voor alle Een direct gevolg hiervan is dat Als echte functie buiten de integraal bestaat de deltadistributie niet, maar men kan haar onder andere beschouwen als een limietgeval van een rechthoek met breedte gaande naar nul, en de hoogte zodanig dat de oppervlakte = lengte × breedte = 1 blijft. De naïeve limiet ziet eruit als een functie die overal nul is behalve in de oorsprong, waar ze oneindig wordt. Ze wordt dan ook vaak voorgesteld als een verticale "pijl" in de oorsprong. Door deze eigenschappen is ze bijvoorbeeld zeer geschikt om dichtheden te definiëren voor puntdeeltjes. De grafiek van de deltafunctie heeft de gehele -as als domein en de positieve -as als bereik. De deltafunctie is geen reguliere functie op de reële getallen. en zijn voor alle behalve voor aan elkaar gelijk, maar hebben toch andere integralen. Volgens de Lebesgue-theorie voor integratie geldt dat als en functies zijn die bijna overal aan elkaar gelijk zijn, dan en slechts dan integreerbaar is, als integreerbaar is. De integralen van en zijn dan gelijk. Voor een exacte behandeling van de diracdeltadistributie is maattheorie of de distributietheorie nodig. De diracdeltafunctie wordt gebruikt om een impuls te modelleren of soortgelijke abstracties als een elektrische puntlading, een puntmassa of puntvormig elektron. Om bijvoorbeeld de beweging van een bal die geraakt wordt door een knuppel te berekenen, kan men de kracht van de knuppel op de bal benaderen door een deltafunctie. Op die manier wordt de berekening eenvoudiger en hoeft alleen naar de overgedragen impuls gekeken te worden en niet naar de precieze energie-overdracht. In de toegepaste wiskunde wordt de deltafunctie vaak beschouwd als een van een rij functies, die allemaal een piek in de oorsprong vertonen. Bijvoorbeeld een rij normale verdelingen met een spreiding die naar nul gaat.