ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos y datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.​ Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica siguiente: la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta. Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisface. Para el caso dado, la solución es: En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. El símbolo «=», que aparece en cada ecuación, fue inventado en 1557 por Robert Recorde, quien consideró que no había nada más igual que dos líneas rectas paralelas de la misma longitud.​ Una ecuación se escribe como dos expresiones , conectadas por un signo igual ("=").​​​ Las expresiones en los dos lados del signo igual se denominan "lado izquierdo" y "lado derecho" de la ecuación. Muy a menudo se supone que el lado derecho de una ecuación es cero. Suponiendo que esto no reduce la generalidad, ya que esto se puede realizar restando el lado derecho de ambos lados. El tipo más común de ecuación es una ecuación polinomial (comúnmente llamada también ecuación algebraica ) en la que los dos lados son polinomios. Los lados de una ecuación polinomial contienen uno o más términos . Por ejemplo, la ecuación tiene el lado izquierdo , que tiene cuatro términos, y el lado derecho , que consta de un solo término. Los nombres de las variables sugieren que x e y son incógnitas, y que A, B, y C son parámetros, pero esto es normalmente fijado por el contexto (en algunos contextos, y puede ser un parámetro, o A, B, y C pueden ser variables ordinarias). Una ecuación es análoga a una balanza en la que se colocan pesos. Cuando se colocan pesos iguales de algo (por ejemplo, grano) en los dos platillos, los dos pesos hacen que la balanza esté en equilibrio y se dice que son iguales. Si se retira una cantidad de grano de uno de los platillos de la balanza, debe retirarse una cantidad igual de grano del otro platillo para que la balanza siga en equilibrio. Más generalmente, una ecuación permanece en equilibrio si se realiza la misma operación en sus dos lados. En geometría cartesiana, las ecuaciones se utilizan para describir figuras geométricas. Puesto que las ecuaciones que se plantean, como las ecuaciones implícitas o las ecuaciones paramétricas, tienen infinitas soluciones, el objetivo es ahora diferente: en lugar de dar las soluciones explícitamente o contarlas, lo que es imposible, se utilizan las ecuaciones para estudiar las propiedades de las figuras. Esta es la idea de partida de la geometría algebraica, una importante área de las matemáticas. El Álgebra estudia dos grandes familias de ecuaciones: ecuaciones polinómicas y, entre ellas, el caso especial de las ecuaciones lineales. Cuando hay una sola variable, las ecuaciones polinómicas tienen la forma P(x) = 0, donde P es un polinomio, y las ecuaciones lineales tienen la forma ax + b = 0, donde a y b son parámetros. Para resolver ecuaciones de cualquiera de las dos familias, se utilizan técnicas algorítmicas o geométricas que provienen del álgebra lineal o del análisis matemático. El álgebra también estudia las ecuaciones diofantinas en las que los coeficientes y las soluciones son números enteros. Las técnicas utilizadas son diferentes y provienen de la teoría de números. Estas ecuaciones son difíciles en general; a menudo se busca sólo encontrar la existencia o ausencia de una solución y, si existe una o varias, hallar el número de soluciones. Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran una o más funciones y sus derivadas. Se resuelven encontrando una expresión para la función que no implique derivadas. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar procesos que implican las tasas de cambio de la variable,y se utilizan en áreas como la física, la química, la biología y la economía.