平衡点

微分方程式における平衡点（へいこうてん）とは、独立変数に依らず一定の値となる常微分方程式の解である。同じものは不動点、固定点、臨界点、休止点、特異点、停留点、静止点、危点、平衡解、定常解、定数解、静止解などの名でも呼ばれる。英語では equilibrium point, fixed point, stationary solution, critical point, rest point などと呼ばれる。力学系的視点では、平衡点とは時間が変化しても動かない相空間上の点を意味する。 平衡点は、微分方程式の解を理解する上で重要で、平衡点を調べることは、微分方程式の解の定性的な振る舞いを知りたいときの最初の手段である。問題の微分方程式がの場合、解析的な解が得られることはまれだが、非線形系であっても平衡点を求めることなら可能である。 数式では、微分方程式 dx/dt = f(x) において f(xe) = 0 を満たす xe が平衡点である。線形系あるいは線形近似された系の平衡点は、係数行列の固有値によって、平衡点近傍の解軌道が近づくか離れるかといった安定性の問題を判別できる。ハートマン・グロブマンの定理により、平衡点が双曲型平衡点であれば、非線形系の平衡点近傍の振る舞いと線形近似した系の平衡点近傍の振る舞いが、定性的に同じであることが保証されている。