Euler-Gleichungen

Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes System von partiellen Differentialgleichungen zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien elastischen Fluiden. Im engeren Sinne ist mit Euler-Gleichungen die Impulsgleichung für reibungsfreie Strömungen gemeint. Diese wird manchmal auch als Eulersche Gleichung bezeichnet. Im weiteren Sinne wird diese um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Die zugehörigen Impulsgleichungen sind in eulerscher Betrachtungsweise formuliert und lauten: Der Vektor ist das Geschwindigkeitsfeld im Fluid mit Komponenten in Richtung der kartesischen Koordinaten , die Dichte, der Druck und eine äußere volumenverteilte Beschleunigung (z. B. Schwerebeschleunigung). Der Vektorgradient entspricht dem Produkt aus dem Geschwindigkeitsgradienten und der Geschwindigkeit: Der Gradient des Drucks entspricht . Alle Variablen in den Euler-Gleichungen sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, die in beliebigen Koordinatensystemen gilt, und die rechten Komponentengleichungen ergeben sich im Sonderfall des kartesischen Koordinatensystems. Die Navier-Stokes-Gleichungen beinhalten diese Gleichungen als den Sonderfall, in dem die innere Reibung (Viskosität) und die Wärmeleitung des Fluids vernachlässigt werden. Anwendung finden die Euler-Gleichungen bei laminaren Strömungen, wie sie in technischen Rohrströmungen oder in der Flugzeugentwicklung in guter Näherung angenommen werden können. Bei Inkompressibilität lässt sich aus den Euler-Gleichungen die Bernoulli-Gleichung ableiten und bei zusätzlich wirbelfreier Strömung ergeben sich Potentialströmungen.