insieme finito

In matematica, un insieme è detto finito se esiste una corrispondenza biunivoca (ossia una biiezione) tra un numero naturale visto come insieme e . I numeri naturali sono (dove denota l'insieme vuoto), , , etc. Ad esempio l'insieme è finito perché la funzione definita mediante è una biiezione tra e . Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito occorre dimostrare la seguente affermazione: se esistono numeri naturali, e biiezioni allora . Per dimostrare tale affermazione si considera la funzione composta che è ancora una biiezione. Basta quindi mostrare che dati numeri naturali, se è una biiezione allora . Questo ultimo fatto si dimostra per induzione. Infatti, sia il sottoinsieme degli tali che se esiste una funzione biiettiva e allora . Si ha che in quanto esiste un’unica ed è biiettiva se e solo se . Supponiamo ora che e mostriamo che . Sia biiettiva quindi ed . A meno di scambi possiamo sempre supporre che e quindi è biiettiva. Per ipotesi induttiva quindi e dunque . Abbiamo visto che è induttivo dunque . Quanto visto consente di definire il numero di elementi di un insieme finito come l'unico numero naturale tale che esiste una biiezione tra e . Tale numero si indica con oppure con e si dice anche cardinalità di . Inoltre, si ha che . Ad esempio, l'insieme ha elementi, cioè . Inoltre, e Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa assumendo l'assioma della scelta, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.