有限生成群

代数学における有限生成群（ゆうげんせいせいぐん、英: finitely generated group）は、適当な有限部分集合 S を生成系とする群 G を言う。すなわち有限生成群 G の任意の元は、S ∪ S−1（有限集合 S とそれに属する元の逆元の集合 S−1 の合併）の有限個の元の積に書ける。 定義により任意の有限群 G は有限生成である（S = G ととればよい）。任意の有限生成無限群は可算でなければならないが、任意の可算群は必ずしも有限生成でない。実際、有理数全体の成す加法群 Q は有限生成でない可算群の例を与える。 有限生成群の任意の剰余群はまた有限生成である。有限生成群の部分群は有限生成とは限らない。