Satz von Frobenius

Der Satz von Frobenius, 1877 von Ferdinand Georg Frobenius bewiesen, gehört zum mathematischen Teilgebiet der Algebra. Der Satz besagt, dass es bis auf Isomorphie nur drei endlichdimensionale, assoziative Divisionsalgebren über den reellen Zahlen gibt: selbst, die komplexen Zahlen und die Quaternionen . Der Satz wurde 1881 unabhängig von Charles Sanders Peirce bewiesen. Der Satz beschränkt die Existenz assoziativer Divisionsalgebren über den reellen Zahlen also auf die Dimensionen 1, 2 und 4. Der Erfinder der Quaternionen, William Rowan Hamilton, hatte lange nach einer solchen Algebra in drei Dimensionen gesucht, was durch den Satz ausgeschlossen wird. Lässt man die Bedingung der Assoziativität fallen und verlangt Kommutativität, bewies 1940 Heinz Hopf, dass die entsprechenden endlichdimensionalen Divisionsalgebren über maximal die Dimension 2 haben. Es existieren topologische Beweise, dass es Divisionsalgebren über den reellen Zahlen nur mit den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 gibt (siehe Divisionsalgebra). Von diesen drei Divisionsalgebren sind nur die Quaternionen ein Schiefkörper mit einer nicht-kommutativen Multiplikation. Da und die einzigen endlichdimensionalen, kommutativen und assoziativen Divisionsalgebren über den reellen Zahlen sind, muss zum Beweis des Satzes von Frobenius gezeigt werden, dass die Quaternionen den einzigen endlichdimensionalen nicht-kommutativen Schiefkörper über bilden: Sei ein endlichdimensionaler nicht-kommutativer Schiefkörper über . Dann gibt es einen -Algebrenisomorphismus .