liczby całkowite Gaussa

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako . Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa. Zbiór liczb całkowitych Gaussa nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy zbiór liczb całkowitych jest takim pierścieniem. Elementami odwracalnymi pierścienia są: . Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są oraz Grupa ta działa na i można ją interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez ). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach (I ćwiartka), (II ćwiartka), (III ćwiartka), (IV ćwiartka). Elementy pierwsze pierścienia są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w można opisać w następujący sposób: 1. * Jeśli kwadrat modułu liczby jest w liczbą pierwszą postaci (gdzie ), to jest liczbą pierwszą w Każda liczba pierwsza w postaci rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa. 2. * Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej 3. * Liczba pierwsza w postaci jest liczbą pierwszą w Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny