热核

热核（英語：heat kernel）在数学中是指热方程的基本解。其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一。对于固定边界的区域，当边界温度给定、并于t = 0时在其中某一点放置一单位热能时，热核表示此后区域内温度的变化过程。 最常见的热核为d维欧几里得空间Rd上的热核。该热核为随时间变化的高斯函数，其表达式为 该热核是热方程 的解，其中t > 0，x,y ∈ Rd，Δ则表示拉普拉斯算子。方程的初始条件为 其中δ表示狄拉克δ函数。对任一紧支撑的光滑函数φ，有 对于Rd上的一般区域，热核并没有显式的表达式。当区域为圆盘或方形时，热核则分别为贝塞尔函数与雅可比Θ函数。可以证明，对任意黎曼流形，当边界条件充分正则时，热核存在且在t>0时光滑。