fibração de Hopf

No campo matemático da topologia, a fibração de Hopf (também conhecida como fibrado de Hopf ou mapa de Hopf) descreve uma 3-esfera (uma hiperesfera no espaço quadri-dimensional) em termos de círculos e uma esfera ordinária. Descoberto por Heinz Hopf em 1931, é um exemplo primordial influente de fibrado de linhas. Tecnicamente, Hopf encontrou uma função contínua (ou "mapa") de "muitos para um" da 3-esfera para a 2-esfera tal que cada ponto distinto da 2-esfera torna-se um círculo distinto da 3-esfera. Assim a 3-esfera é composta de "fibras", onde cada "fibra" é um círculo — um para cada ponto da 2-esfera. Esta estrutura de fibras é denotada o que quer dizer que a fibra S¹ (um círculo) está imersa no espaço total S³ (a 3-esfera), e p: S³→S² (mapa de Hopf) projeta S³ na base S² (a 2-esfera ordinária). A fibração de Hopf, como qualquer fibrado, tem a propriedade de ser um espaço produto. Todavia este não é um fibrado trivial, i.e., S³ não é (globalmente) o produto de S² e S¹. Isto apresenta algumas implicações: por exemplo, a existência deste fibrado mostra que os mais altos não são triviais em geral. Também provê um exemplo básico de fibrado principal pela identificação da fibra com o . A projeção estereográfica do fibrado de Hopf induz a uma estrutura marcante em R³, na qual o espaço é preenchido com toros aninhados feitos de interligados. Aqui cada fibra é projetada num círculo no espaço (um dos quais é um "círculo passando pelo infinito" — uma reta). Cada toro é a projeção estereográfica da imagem inversa de um círculo de latitude da 2-esfera. (Topologicamente, um toro é o produto de dois círculos.) Estes toros são ilustrados pelas imagens à direita. Quando o R3 é comprimido numa bola, sua estrutura geométrica é perdida mas a estrutura topológica se mantém (ver Topologia e Geometria). Os laços são a círculos, apesar de não serem círculos geométricos. Há inúmeras generalizações da fibração de Hopf. A esfera unitária em Cn+1 projeta-se naturalmente em CPn tendo círculos como fibras, e há também versões reais, em e em destas fibrações. Em particular, a fibração de Hopf pertence a uma família de quatro fibrados cujo espaço total, a base e a fibra são todos esferas: Pelo , tais fibrações podem ocorrer apenas nestas dimensões. A fibração de Hopf é importante na Teoria dos twistores.