Dynamique hyperbolique

La dynamique hyperbolique est l'étude des systèmes dynamiques qui présentent de l'hyperbolicité. Décrivons un exemple simple : on se donne la matrice diagonale on peut regarder sa dynamique sur le plan. est le seul point fixe. On a une direction qui est comprimée, une direction qui est dilatée. On peut remarquer que les autres points ont trois comportements : soit ils tendent vers , soit ils s'en éloignent en ligne droite, soit ils ont une trajectoire en forme d'hyperbole. On dit qu'un système dynamique différentiel présente de l'hyperbolicité quand tous les points périodiques présentent ce genre de comportement, ou plus généralement, tous les ensembles compacts invariants. Le résultat important concernant ces systèmes dynamiques est qu'il exhibent des propriétés de stabilité et des propriétés ergodiques, qui en font des bons candidats pour décrire les systèmes physiques.