Неявная кривая

Неявная кривая — это плоская кривая, определённая уравнением в неявном виде, связывающим две координатные переменные, обычно обозначаемые x и y. Например, единичная окружность задаётся уравнением . В общем случае любая неявная кривая задаётся уравнением вида для некоторой функции F от двух переменных. Следовательно, неявная функция может рассматриваться как множество нулей функции от двух переменных. «Неявная» означает, что равенство не выражает ни решение x от переменной y, ни наоборот. Если функция является многочленом от двух переменных, соответствующая кривая называется алгебраической и для неё есть специфичные методы изучения. Плоская кривая может быть представлена в декартовых координатах (координатах x, y) любым из трёх методов, одним из которых является уравнение в неявном виде, приведённое выше. Другой способ - описание графика функции равенством , в котором явно представлена функция - называется явным представлением. Третьим важным способом описания кривой является параметрическое описание, где координаты x и y точек кривой представлены двумя функциями x(t), y(t), обе в форме явного представления и зависящие от общего параметра Примеры неявных кривых: 1. * прямая: 2. * окружность: 3. * Полукубическая парабола: 4. * Овалы Кассини (см. рисунок), 5. * (см. рисунок). В первых четырёх примерах представлены алгебраические кривые, однако последняя кривая таковой не является. Первые три кривые являются простым параметрическим представлением, в отличие от четвёртого и пятого примеров. Пятый пример показывает возможность сложной геометрической структуры неявной кривой. Теорема о неявной функции описывает условия, при которых равенство может быть решено неявно по x и/или по y, т. е. при условиях, при которых можно правомерно записать или . Эта теорема является ключевым фактором для вычисления важных геометрических свойств кривой — касательных, нормалей и кривизны. На практике неявные кривые имеют существенный изъян — их визуальное представление нередко затруднительно. Однако существуют компьютерные программы, позволяющие нарисовать неявную кривую. Неявная кривая с уравнением может рассматриваться как множество уровня со значением 0 для поверхности (см. третий рисунок).