Implizite Fläche

Eine implizite Fläche ist in der Mathematik eine Fläche im euklidischen Raum, die durch eine Gleichung der Form beschrieben wird. Eine implizite Fläche besteht aus der Gesamtheit der Nullstellen einer Funktion von drei Variablen. Implizit bedeutet, dass die Gleichung der Fläche nicht nach x oder y oder z aufgelöst ist. Funktionsgraphen werden in der Regel durch eine Gleichung beschrieben und sind deswegen explizit dargestellte Flächen. Die dritte wichtige Beschreibung von Flächen ist die Parameterdarstellung: . Dabei werden die x-, y- und z-Koordinaten von Flächenpunkten durch drei von zwei gemeinsamen Parametern abhängigen Funktionen beschrieben. Der Übergang von einer Darstellung zu einer anderen ist in der Regel nur einfach, wenn eine explizite Darstellung vorliegt: (implizit), (parametrisiert). Beispiele impliziter Flächen: 1. * eine Ebene , 2. * eine Kugel , 3. * ein Torus , 4. * Fläche vom Geschlecht 2: (s. Bild), 5. * Rotationsfläche (s. Bild Weinglas). Während man zu Ebene, Kugel und Torus noch leicht Parameterdarstellungen angeben kann, ist dies für die vierte Fläche nicht mehr einfach. Wie bei impliziten Kurven lässt sich unter gewissen Voraussetzungen mithilfe des Satzes über implizite Funktionen auch für implizite Flächen lokal eine explizite Darstellung nachweisen. Praktisch sind solche Auflösungen nur in einfachen Fällen (Ebene, Kugel, …) möglich. Aber die theoretische Möglichkeit einer Auflösung ist der Schlüssel, um Tangentialebenen und Krümmungen in einem Flächenpunkt zu berechnen (s. unten). Ist ein Polynom in x,y und z, so nennt man die zugehörige Fläche algebraisch.Beispiel 5. ist nicht algebraisch. Implizite Flächen haben zwar den Nachteil, dass sie schwer zu visualisieren sind. Sie bieten aber eine große Palette von theoretisch interessanten Flächen (z. B. Steinersche Flächen) und im CAD-Bereich lassen sich relativ einfach Flächen erzeugen mit voraussagbarer Gestalt und Eigenschaften (s. u.).